6062. Metoda parcijalne integracije

Snižavamo stepen formulom $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$ (iz $\cos2x=1-2\sin^2x$ ):

\int e^{2x}\sin^2x\,dx=\frac12\int e^{2x}\,dx-\frac12\int e^{2x}\cos2x\,dx=\frac14e^{2x}-\frac12J

Ovde je $J=\int e^{2x}\cos2x\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\cos2x ,$ $dv=e^{2x}\,dx ,$ $v=\frac12e^{2x} :$

J=\frac12e^{2x}\cos2x+\int e^{2x}\sin2x\,dx

Još jednom, sa $u=\sin2x ,$ $dv=e^{2x}\,dx :$

\int e^{2x}\sin2x\,dx=\frac12e^{2x}\sin2x-\int e^{2x}\cos2x\,dx=\frac12e^{2x}\sin2x-J

Dobijamo jednačinu po $J :$

J=\frac12e^{2x}\cos2x+\frac12e^{2x}\sin2x-J\implies J=\frac14e^{2x}(\cos2x+\sin2x)

Vraćamo u prvi izraz:

\int e^{2x}\sin^2x\,dx=\frac14e^{2x}-\frac18e^{2x}(\cos2x+\sin2x)+C=\frac18e^{2x}(2-\sin2x-\cos2x)+C

Provera:

\frac18\left(2e^{2x}(2-\sin2x-\cos2x)+e^{2x}(-2\cos2x+2\sin2x)\right)=\frac{e^{2x}(1-\cos2x)}{2}=e^{2x}\sin^2x

Konačno, $\int e^{2x}\sin^2x\,dx=\frac18e^{2x}(2-\sin2x-\cos2x)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

335.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci