6063. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Ovde logaritam uzimamo za $u ,$ a polinom za $dv$ (polinom lako integralimo):

u=\ln x,\quad dv=(x^2-3x+5)\,dx\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}x,\quad v=\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+5x

Uvrštavamo; $\frac{v}{x}=\frac{x^2}3-\frac{3x}2+5 :$

\int(x^2-3x+5)\ln x\,dx=\left(\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+5x\right)\ln x-\int\left(\frac{x^2}3-\frac{3x}2+5\right)dx

Poslednji integral je integral polinoma:

\int\left(\frac{x^2}3-\frac{3x}2+5\right)dx=\frac{x^3}9-\frac{3x^2}4+5x+C

Dakle:

\int(x^2-3x+5)\ln x\,dx=\left(\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+5x\right)\ln x-\frac{x^3}9+\frac{3x^2}4-5x+C

Provera:

(x^2-3x+5)\ln x+\left(\frac{x^2}3-\frac{3x}2+5\right)-\frac{x^2}3+\frac{3x}2-5=(x^2-3x+5)\ln x

Zaključujemo da je $\int(x^2-3x+5)\ln x\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+5x\right)\ln x-\frac{x^3}{9}+\frac{3x^2}{4}-5x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

335.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci