6064. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $\cos x\neq-1 .$ Iz $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ sa $\alpha=\frac x2$ dobijamo $1+\cos x=2\cos^2\frac x2 :$

\int\frac{x\,dx}{1+\cos x}=\int\frac{x\,dx}{2\cos^2\frac x2}

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=x ,$ $dv=\frac{dx}{2\cos^2\frac x2} .$ Smenom $s=\frac x2 ,$ $dx=2\,ds$ je $v=\int\frac{ds}{\cos^2s}=\operatorname{tg}\frac x2 :$

u=x,\quad dv=\frac{dx}{2\cos^2\frac x2}\qquad\implies\qquad du=dx,\quad v=\operatorname{tg}\frac x2

Uvrštavamo:

\int\frac{x\,dx}{1+\cos x}=x\operatorname{tg}\frac x2-\int\operatorname{tg}\frac x2\,dx

Po zadatku 330.d je $\int\operatorname{tg}s\,ds=-\ln|\cos s| ,$ pa smenom $s=\frac x2 ,$ $dx=2\,ds :$ $\int\operatorname{tg}\frac x2\,dx=-2\ln\left|\cos\frac x2\right| :$

\int\frac{x\,dx}{1+\cos x}=x\operatorname{tg}\frac x2+2\ln\left|\cos\frac x2\right|+C

Provera:

\left(x\operatorname{tg}\frac x2+2\ln\left|\cos\frac x2\right|\right)'=\operatorname{tg}\frac x2+\frac{x}{2\cos^2\frac x2}-\operatorname{tg}\frac x2=\frac{x}{1+\cos x}

Traženi integral je $\int\frac{x\,dx}{1+\cos x}=x\operatorname{tg}\frac x2+2\ln\left|\cos\frac x2\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

335.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci