6055. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $\cos x\neq0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=x$ i $dv=\frac{dx}{\cos^2x}$ ; po tablici je $v=\operatorname{tg}x :$

u=x,\quad dv=\frac{dx}{\cos^2x}\qquad\implies\qquad du=dx,\quad v=\operatorname{tg}x

Uvrštavamo:

\int\frac{x\,dx}{\cos^2x}=x\operatorname{tg}x-\int\operatorname{tg}x\,dx

U zadatku 330.d dobili smo $\int\operatorname{tg}x\,dx=-\ln|\cos x|+C :$

\int\frac{x\,dx}{\cos^2x}=x\operatorname{tg}x+\ln|\cos x|+C

Provera:

\left(x\operatorname{tg}x+\ln|\cos x|\right)'=\operatorname{tg}x+\frac{x}{\cos^2x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{x}{\cos^2x}

Konačno, $\int\frac{x\,dx}{\cos^2x}=x\operatorname{tg}x+\ln|\cos x|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.n

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci