6054. Metoda parcijalne integracije

Označimo traženi integral sa $J=\int3^x\cos x\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\cos x ,$ $dv=3^x\,dx ,$ pa je $v=\frac{3^x}{\ln3} :$

J=\frac{3^x\cos x}{\ln3}-\int\frac{3^x}{\ln3}\cdot(-\sin x)\,dx=\frac{3^x\cos x}{\ln3}+\frac1{\ln3}\int3^x\sin x\,dx

Na novi integral ponovo primenjujemo parcijalnu integraciju, sa $u=\sin x ,$ $dv=3^x\,dx :$

\int3^x\sin x\,dx=\frac{3^x\sin x}{\ln3}-\frac1{\ln3}\int3^x\cos x\,dx=\frac{3^x\sin x}{\ln3}-\frac{J}{\ln3}

Uvrštavanjem dobijamo jednačinu u kojoj se $J$ javlja sa obe strane:

J=\frac{3^x\cos x}{\ln3}+\frac{3^x\sin x}{(\ln3)^2}-\frac{J}{(\ln3)^2}

Sve članove sa $J$ prebacujemo na levu stranu, množimo sa $(\ln3)^2$ i delimo sa $1+(\ln3)^2$ (konstantu $C$ dodajemo na kraju):

J\left(1+(\ln3)^2\right)=3^x\left(\sin x+\ln3\cos x\right)\implies J=\frac{3^x(\sin x+\ln3\cos x)}{1+(\ln3)^2}+C

Provera:

\left(\frac{3^x(\sin x+\ln3\cos x)}{1+(\ln3)^2}\right)'=\frac{3^x\ln3(\sin x+\ln3\cos x)+3^x(\cos x-\ln3\sin x)}{1+(\ln3)^2}=\frac{3^x\cos x\left((\ln3)^2+1\right)}{1+(\ln3)^2}=3^x\cos x

Zaključujemo da je $\int3^x\cos x\,dx=\frac{3^x(\sin x+\cos x\ln3)}{1+(\ln3)^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.m

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci