6051. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=x ,$ $dv=3^x\,dx$ ; po tablici je $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C ,$ pa je $v=\frac{3^x}{\ln3} :$

u=x,\quad dv=3^x\,dx\qquad\implies\qquad du=dx,\quad v=\frac{3^x}{\ln3}

Uvrštavamo; $\ln3$ je konstanta, pa ga izvlačimo ispred integrala:

\int x\cdot3^x\,dx=\frac{x\cdot3^x}{\ln3}-\frac1{\ln3}\int3^x\,dx=\frac{x\cdot3^x}{\ln3}-\frac{3^x}{(\ln3)^2}+C

Provera, uz $(3^x)'=3^x\ln3 :$

\left(\frac{x\cdot3^x}{\ln3}-\frac{3^x}{(\ln3)^2}\right)'=\frac{3^x}{\ln3}+x\cdot3^x-\frac{3^x}{\ln3}=x\cdot3^x

Prema tome, $\int x\cdot3^x\,dx=\frac{x\cdot3^x}{\ln3}-\frac{3^x}{(\ln3)^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.k

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci