6050. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $|x|\le1 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\arcsin x ,$ jer je njegov izvod $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,$ i $dv=dx :$

u=\arcsin x,\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\quad v=x

Uvrštavamo:

\int\arcsin x\,dx=x\arcsin x-\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}

Preostali integral rešavamo smenom $s=1-x^2 ,$ $ds=-2x\,dx :$ $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac12\int s^{-\frac12}\,ds=-\sqrt s=-\sqrt{1-x^2} .$ Zato:

\int\arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C

Provera:

\left(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\right)'=\arcsin x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x

Rešenje zadatka je $\int\arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci