6058. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\operatorname{arctg}x$ i $dv=dx :$

u=\operatorname{arctg}x,\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}{1+x^2},\quad v=x

Uvrštavamo:

\int\operatorname{arctg}x\,dx=x\operatorname{arctg}x-\int\frac{x\,dx}{1+x^2}

U preostalom integralu brojilac je polovina izvoda imenioca, pa smenom $s=1+x^2 ,$ $ds=2x\,dx$ dobijamo $\int\frac{x\,dx}{1+x^2}=\frac12\ln(1+x^2)$ (kao u 330.a):

\int\operatorname{arctg}x\,dx=x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(1+x^2)+C

Provera:

\left(x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(1+x^2)\right)'=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^2}-\frac{x}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x

Zaključujemo da je $\int\operatorname{arctg}x\,dx=x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(x^2+1)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci