6068. Metoda parcijalne integracije

Neka je $I=\int\sqrt{x^2+1}\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\sqrt{x^2+1} ,$ $dv=dx :$

u=\sqrt{x^2+1},\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}},\quad v=x

Uvrštavamo i pišemo $x^2=(x^2+1)-1 :$

I=x\sqrt{x^2+1}-\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}-I+\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}

Po tablici je $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\ln|x+\sqrt{x^2+1}|+C$ ; izraz $x+\sqrt{x^2+1}$ je uvek pozitivan (jer je $\sqrt{x^2+1}>|x|$ ). Rešavamo po $I :$

2I=x\sqrt{x^2+1}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\implies I=\frac x2\sqrt{x^2+1}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C

Provera:

\frac12\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{(x^2+1)+x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}

Dakle, $\int\sqrt{x^2+1}\,dx=\frac x2\sqrt{x^2+1}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

336.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci