6091. Metoda parcijalne integracije

Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac{4x^2+4x-11}{(2x-1)(2x+3)(2x-5)}=\frac A{2x-1}+\frac B{2x+3}+\frac C{2x-5}

Posle množenja imeniocem: $4x^2+4x-11=A(2x+3)(2x-5)+B(2x-1)(2x-5)+C(2x-1)(2x+3) .$ Uvrštavamo $x=\frac12 :$ $-8=-16A$ ; $x=-\frac32 :$ $-8=32B$ ; $x=\frac52 :$ $24=32C :$

A=\frac12,\qquad B=-\frac14,\qquad C=\frac34

Svaki razlomak oblika $\frac{1}{2x-k}$ integralimo smenom $s=2x-k ,$ $dx=\frac{ds}2 :$ $\int\frac{dx}{2x-k}=\frac12\ln|2x-k|$ (kao u 325.k):

\int\frac{4x^2+4x-11}{(2x-1)(2x+3)(2x-5)}\,dx=\frac14\ln|2x-1|-\frac18\ln|2x+3|+\frac38\ln|2x-5|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{-11}{15} ,$ a izvod rezultata $\frac{1/2}{2x-1}-\frac{1/4}{2x+3}+\frac{3/4}{2x-5}$ daje $-\frac12-\frac1{12}-\frac{3}{20}=-\frac{11}{15} ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Traženi integral je $\int\frac{4x^2+4x-11}{(2x-1)(2x+3)(2x-5)}\,dx=\frac14\ln|2x-1|-\frac18\ln|2x+3|+\frac38\ln|2x-5|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci