6090. Metoda parcijalne integracije

Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+3}+\frac C{x-4}\implies2x^2+41x-91=A(x+3)(x-4)+B(x-1)(x-4)+C(x-1)(x+3)

Uvrštavamo nule imenioca. $x=1 :$ $-48=-12A$ ; $x=-3 :$ $-196=28B$ ; $x=4 :$ $105=21C :$

A=4,\qquad B=-7,\qquad C=5

Integralimo član po član:

\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\,dx=4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{-91}{12} ,$ a izvod rezultata je $\frac{4}{-1}-\frac{7}{3}+\frac{5}{-4}=\frac{-48-28-15}{12}=-\frac{91}{12} ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\,dx=4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci