6093. Metoda parcijalne integracije

Činilac $x^2+1$ nema realnih nula i javlja se dvaput, pa iznad njega i njegovog kvadrata pišemo linearne brojioce:

\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}

Množenjem imeniocem dobijamo $2x^2+2x+13=A(x^2+1)^2+(Bx+C)(x-2)(x^2+1)+(Dx+E)(x-2) .$ Za $x=2 :$ $25=25A ,$ pa je $A=1 .$ Izjednačavamo koeficijente uz $x^4,x^3,x^2,x :$

A+B=0,\quad C-2B=0,\quad 2A+B-2C+D=2,\quad C-2B+E-2D=2

Redom dobijamo (slobodan član $A-2C-2E=1+4+8=13$ potvrđuje račun):

A=1,\quad B=-1,\quad C=-2,\quad D=-3,\quad E=-4

Treba nam i $J=\int\frac{dx}{(x^2+1)^2} .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Primenimo je na $\int\frac{dx}{1+x^2}$ sa $u=\frac1{1+x^2} ,$ $dv=dx ,$ $du=-\frac{2x\,dx}{(1+x^2)^2} ,$ i pišemo $x^2=(1+x^2)-1 :$

\operatorname{arctg}x=\frac{x}{1+x^2}+2\int\frac{x^2\,dx}{(1+x^2)^2}=\frac{x}{1+x^2}+2\operatorname{arctg}x-2J\implies J=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac12\operatorname{arctg}x

Integralimo svaki deo. Za $\int\frac{x\,dx}{(x^2+1)^2}$ smenom $s=x^2+1$ dobijamo $-\frac1{2(x^2+1)} ,$ a za $\int\frac{x\,dx}{x^2+1}$ dobijamo $\frac12\ln(x^2+1) :$

\int\frac{dx}{x-2}-\int\frac{x+2}{x^2+1}\,dx-\int\frac{3x+4}{(x^2+1)^2}\,dx=\ln|x-2|-\frac12\ln(x^2+1)-2\operatorname{arctg}x+\frac{3}{2(x^2+1)}-4J

Uvrštavamo $J$ i sređujemo ( $-4J=-\frac{2x}{x^2+1}-2\operatorname{arctg}x$ ):

\int\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}\,dx=\frac{3-4x}{2(x^2+1)}+\frac12\ln\frac{(x-2)^2}{x^2+1}-4\operatorname{arctg}x+C

Brojna provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{13}{-2}=-6{,}5$ ; izvod rezultata je $-\frac{4}{2}+\frac{1}{0-2}-4=-2-0{,}5-4=-6{,}5$ (prvi član daje $\frac{-4\cdot2(x^2+1)-(3-4x)\cdot4x}{4(x^2+1)^2}=-2$ ), što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Prema tome, $\int\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}\,dx=\frac{3-4x}{2(x^2+1)}+\frac12\ln\frac{(x-2)^2}{x^2+1}-4\operatorname{arctg}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci