6103. Metoda parcijalne integracije

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $s=x^2 ,$ $ds=2x\,dx$ ; imenilac postaje $s^2-4s+3=(s-1)(s-3) :$

\int\frac{x\,dx}{x^4-4x^2+3}=\frac12\int\frac{ds}{(s-1)(s-3)}

Pošto je $(s-1)-(s-3)=2 :$

\frac1{(s-1)(s-3)}=\frac12\left(\frac1{s-3}-\frac1{s-1}\right)

Integralimo i vraćamo $s=x^2 :$

\frac12\cdot\frac12\left(\ln|s-3|-\ln|s-1|\right)+C=\frac14\ln\left|\frac{x^2-3}{x^2-1}\right|+C

Provera:

\frac14\left(\frac{2x}{x^2-3}-\frac{2x}{x^2-1}\right)=\frac{x}{2}\cdot\frac{(x^2-1)-(x^2-3)}{(x^2-3)(x^2-1)}=\frac{x}{x^4-4x^2+3}

Prema tome, $\int\frac{x\,dx}{x^4-4x^2+3}=\frac14\ln\left|\frac{x^2-3}{x^2-1}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

342.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci