6082. Metoda parcijalne integracije

Imenilac ima nule $2$ i $3 ,$ pa je $x^2-5x+6=(x-2)(x-3) .$ Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}\implies x-4=A(x-3)+B(x-2)

Jednakost brojilaca važi za svako $x ,$ pa uvrštavamo zgodne vrednosti. Za $x=2 :$ $-2=-A$ ; za $x=3 :$ $-1=B :$

A=2,\qquad B=-1

Svaki razlomak integralimo po formuli $\int\frac{dx}{x-k}=\ln|x-k|+C$ (kao u 325.j):

\int\frac{x-4}{x^2-5x+6}\,dx=2\int\frac{dx}{x-2}-\int\frac{dx}{x-3}=2\ln|x-2|-\ln|x-3|+C

Po pravilima za logaritme rezultat možemo zapisati i kao $\ln\left|\frac{(x-2)^2}{x-3}\right| .$ Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{-4}{6}=-\frac23 ,$ a izvod rezultata $\frac2{x-2}-\frac1{x-3}$ daje $-1+\frac13=-\frac23 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{x-4}{x^2-5x+6}\,dx=\ln\left|\frac{(x-2)^2}{x-3}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

339.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci