6080. Metoda parcijalne integracije

Izvod imenioca je $2x-4 .$ Brojilac izražavamo preko tog izvoda: $3x-2=\frac32(2x-4)+4$ (proverom: $\frac32\cdot2x=3x ,$ $\frac32\cdot(-4)+4=-2$ ):

\int\frac{3x-2}{x^2-4x+5}\,dx=\frac32\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}\,dx+4\int\frac{dx}{x^2-4x+5}

U prvom integralu brojilac je izvod imenioca, pa po zadatku 329.a dobijamo logaritam; imenilac $(x-2)^2+1$ je uvek pozitivan:

\frac32\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}\,dx=\frac32\ln(x^2-4x+5)+C_1

Drugi integral je zadatak 326.đ: $x^2-4x+5=(x-2)^2+1 ,$ pa je $\int\frac{dx}{(x-2)^2+1}=\operatorname{arctg}(x-2) .$ Sabiramo:

\int\frac{3x-2}{x^2-4x+5}\,dx=\frac32\ln(x^2-4x+5)+4\operatorname{arctg}(x-2)+C

Provera:

\frac32\cdot\frac{2x-4}{x^2-4x+5}+\frac{4}{1+(x-2)^2}=\frac{3x-6+4}{x^2-4x+5}=\frac{3x-2}{x^2-4x+5}

Traženi integral je $\int\frac{3x-2}{x^2-4x+5}\,dx=\frac32\ln\left((x-2)^2+1\right)+4\operatorname{arctg}(x-2)+C .$

339.b