6100. Metoda parcijalne integracije

Izvod imenioca je $2x-1$ ; brojilac pišemo kao $x-1=\frac12(2x-1)-\frac12 :$

\int\frac{x-1}{x^2-x-1}\,dx=\frac12\int\frac{2x-1}{x^2-x-1}\,dx-\frac12\int\frac{dx}{x^2-x-1}

Prvi integral je po zadatku 329.a jednak $\ln|x^2-x-1| .$ U drugom dopunjavamo do kvadrata: $x^2-x-1=\left(x-\frac12\right)^2-\frac54 ,$ gde je $\frac54=c^2$ za $c=\frac{\sqrt5}2 .$

Za $\int\frac{ds}{s^2-c^2}$ rastavljamo razlomak; pošto je $(s+c)-(s-c)=2c ,$ važi $\frac1{s^2-c^2}=\frac1{2c}\left(\frac1{s-c}-\frac1{s+c}\right) :$

\int\frac{ds}{s^2-c^2}=\frac1{2c}\ln\left|\frac{s-c}{s+c}\right|+C

Sa $s=x-\frac12 ,$ $c=\frac{\sqrt5}2$ je $\frac{s-c}{s+c}=\frac{2x-1-\sqrt5}{2x-1+\sqrt5}$ i $\frac1{2c}=\frac1{\sqrt5} :$

\int\frac{x-1}{x^2-x-1}\,dx=\frac12\ln|x^2-x-1|-\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{2x-1-\sqrt5}{2x-1+\sqrt5}\right|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac{-1}{-1}=1$ ; izvod rezultata je $\frac{2x-1}{2(x^2-x-1)}-\frac12\cdot\frac{1}{(x-\frac12)^2-\frac54} ,$ što za $x=0$ daje $\frac12+\frac12=1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Konačno, $\int\frac{x-1}{x^2-x-1}\,dx=\frac12\ln|x^2-x-1|-\frac{1}{2\sqrt5}\ln\left|\frac{2x-1-\sqrt5}{2x-1+\sqrt5}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

342.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci