6097. Metoda parcijalne integracije

Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca. Činilac $x-1$ se javlja dvaput:

\frac1{(x-1)^2(x-2)}=\frac A{x-2}+\frac B{x-1}+\frac C{(x-1)^2}\implies1=A(x-1)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-2)

Za $x=2 :$ $A=1$ ; za $x=1 :$ $1=-C$ ; uz $x^2 :$ $A+B=0 :$

A=1,\qquad B=-1,\qquad C=-1

Integralimo; $-\int\frac{dx}{(x-1)^2}=\frac1{x-1} :$

\int\frac{dx}{(x-1)^2(x-2)}=\ln|x-2|-\ln|x-1|+\frac1{x-1}+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $-\frac12 ,$ a izvod rezultata $\frac1{x-2}-\frac1{x-1}-\frac1{(x-1)^2}$ daje $-\frac12+1-1=-\frac12 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{(x-1)^2(x-2)}=\frac1{x-1}+\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.l

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci