Prethodni zadatak Sledeći zadatak

Prethodni Sledeći

341.k

Postavi pitanje

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Rastavljamo $1-x^4=(1-x^2)(1+x^2) .$ Pošto je $(1+x^2)-(1-x^2)=2x^2 ,$ važi:

\frac{x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac12\cdot\frac{(1+x^2)-(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac12\left(\frac1{1-x^2}-\frac1{1+x^2}\right)

Oba integrala su tablična: $\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|$ i $\int\frac{dx}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x :$

\int\frac{x^2\,dx}{1-x^4}=\frac14\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|-\frac12\operatorname{arctg}x+C

Provera:

\frac12\cdot\frac1{1-x^2}-\frac12\cdot\frac{1}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-(1-x^2)}{2(1-x^4)}=\frac{x^2}{1-x^4}

Traženi integral je $\int\frac{x^2\,dx}{1-x^4}=\frac14\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|-\frac12\operatorname{arctg}x+C .$

Postavi pitanje