6092. Metoda parcijalne integracije

Po formuli za razliku kubova $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ; drugi činilac nema realnih nula ( $D=1-4<0$ ), pa iznad njega pišemo linearni brojilac:

\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\implies1=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)

Za $x=1 :$ $1=3A .$ Uz $x^2 :$ $A+B=0$ ; slobodan član: $A-C=1 :$

A=\frac13,\qquad B=-\frac13,\qquad C=-\frac23

Prvi deo daje $\frac13\ln|x-1| .$ Za drugi, brojilac $x+2$ izražavamo preko izvoda imenioca $2x+1 :$ $x+2=\frac12(2x+1)+\frac32 :$

\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\,dx=\frac12\ln(x^2+x+1)+\frac32\int\frac{dx}{\left(x+\frac12\right)^2+\frac34}

Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\frac{\sqrt3}2 ,$ pa je $\frac32\cdot\frac2{\sqrt3}=\sqrt3 :$

\frac32\int\frac{dx}{\left(x+\frac12\right)^2+\frac34}=\sqrt3\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C

Sastavljamo; drugi deo množimo sa $-\frac13 :$

\int\frac{dx}{x^3-1}=\frac13\ln|x-1|-\frac16\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $-1$ ; izvod rezultata je $\frac{1}{3(x-1)}-\frac{2x+1}{6(x^2+x+1)}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{(2x+1)^2}{3}} ,$ što za $x=0$ daje $-\frac13-\frac16-\frac12=-1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{x^3-1}=\frac13\ln|x-1|-\frac16\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci