341.ž

Imenilac dopunjavamo do potpunog kvadrata i koristimo razliku kvadrata $p^2-q^2=(p-q)(p+q) :$

Oba činioca nemaju realnih nula ($D=2-4<0$). Pošto je $x^4+1$ parna funkcija, traženi zbir ima simetričan oblik; izjednačavanjem koeficijenata dobija se:

Provera: sabiranjem desne strane brojilac je $\left(\frac{x}{2\sqrt2}+\frac12\right)(x^2-\sqrt2x+1)+\left(-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac12\right)(x^2+\sqrt2x+1)=1$ (članovi sa $x^3 ,$ $x^2$ i $x$ se poništavaju). Zatim brojilac prvog razlomka izražavamo preko izvoda imenioca $2x+\sqrt2 :$

Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ($c>0$). Ovde je $c=\frac1{\sqrt2} ,$ pa je $\frac14\cdot\sqrt2\operatorname{arctg}\left(\sqrt2\left(x+\frac{\sqrt2}{2}\right)\right)=\frac{\sqrt2}4\operatorname{arctg}(\sqrt2x+1) :$

Na isti način (zamena $x$ sa $-x$) drugi razlomak daje $-\frac1{4\sqrt2}\ln(x^2-\sqrt2x+1)+\frac{\sqrt2}4\operatorname{arctg}(\sqrt2x-1) .$ Sabiramo, uz $\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{8} :$