6098. Metoda parcijalne integracije

Stepeni su jednaki, pa delimo: $x^4=(x^4-1)+1 .$ Zatim rastavljamo $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) ,$ a pošto je $(x^2+1)-(x^2-1)=2 :$

\frac{x^4}{x^4-1}=1+\frac1{(x^2-1)(x^2+1)}=1+\frac12\left(\frac1{x^2-1}-\frac1{x^2+1}\right)

Po tablici je $\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| ,$ pa je $\int\frac{dx}{x^2-1}=-\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| :$

\int\frac{x^4\,dx}{x^4-1}=x+\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac12\operatorname{arctg}x+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $0$ ; izvod rezultata je $1+\frac12\cdot\frac{1}{x^2-1}-\frac12\cdot\frac{1}{1+x^2} ,$ što za $x=0$ daje $1-\frac12-\frac12=0 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Rešenje zadatka je $\int\frac{x^4\,dx}{x^4-1}=x+\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac12\operatorname{arctg}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci