6081. Metoda parcijalne integracije

Imenilac rastavljamo: $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) .$ Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac{3x^2+2x-3}{x(x-1)(x+1)}=\frac Ax+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}\implies3x^2+2x-3=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)

Uvrštavamo nule imenioca. $x=0 :$ $-3=-A$ ; $x=1 :$ $2=2B$ ; $x=-1 :$ $-2=2C :$

A=3,\qquad B=1,\qquad C=-1

Integralimo član po član:

\int\frac{3x^2+2x-3}{x^3-x}\,dx=3\ln|x|+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C=\ln\left|\frac{x^3(x-1)}{x+1}\right|+C

Provera za $x=2 :$ podintegralna funkcija je $\frac{12+4-3}{6}=\frac{13}6 ,$ a izvod rezultata je $\frac32+1-\frac13=\frac{13}{6} ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Konačno, $\int\frac{3x^2+2x-3}{x^3-x}\,dx=\ln\left|\frac{x^3(x-1)}{x+1}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

339.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci