6083. Metoda parcijalne integracije

Diskriminanta je $25-56=-31<0 .$ Izvlačimo $2$ i dopunjavamo do potpunog kvadrata, uz $\left(x-\frac54\right)^2=x^2-\frac52x+\frac{25}{16} :$

2x^2-5x+7=2\left(x^2-\frac52x+\frac72\right)=2\left(\left(x-\frac54\right)^2+\frac{31}{16}\right)

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $s=x-\frac54 .$ Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\frac{\sqrt{31}}4 ,$ pa je $\frac1c=\frac4{\sqrt{31}} :$

\int\frac{dx}{2x^2-5x+7}=\frac12\int\frac{ds}{s^2+\frac{31}{16}}=\frac12\cdot\frac{4}{\sqrt{31}}\operatorname{arctg}\frac{4s}{\sqrt{31}}+C

Vraćamo $4s=4x-5 :$

\int\frac{dx}{2x^2-5x+7}=\frac{2}{\sqrt{31}}\operatorname{arctg}\frac{4x-5}{\sqrt{31}}+C

Provera:

\frac{2}{\sqrt{31}}\cdot\frac{\frac4{\sqrt{31}}}{1+\frac{(4x-5)^2}{31}}=\frac{8}{31+16x^2-40x+25}=\frac{8}{16x^2-40x+56}=\frac{1}{2x^2-5x+7}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{2x^2-5x+7}=\frac{2}{\sqrt{31}}\operatorname{arctg}\frac{4x-5}{\sqrt{31}}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

340.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci