Prethodni zadatak Sledeći zadatak

Prethodni Sledeći

323.e

Postavi pitanje

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dobili oblik tablične formule $\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C ,$ izvlačimo $a^2$ iz imenioca:

\frac1{a^2+b^2x^2}=\frac1{a^2}\cdot\frac1{1+\left(\frac{bx}a\right)^2}

Uvodimo $u=\frac{bx}a .$ Njen diferencijal je $du=\frac ba\,dx ,$ pa je $dx=\frac ab\,du :$

\int\frac{dx}{a^2+b^2x^2}=\frac1{a^2}\cdot\frac ab\int\frac{du}{1+u^2}=\frac1{ab}\operatorname{arctg}u+C=\frac1{ab}\operatorname{arctg}\frac{bx}a+C

Provera, uz $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2} :$

\left(\frac1{ab}\operatorname{arctg}\frac{bx}a\right)'=\frac1{ab}\cdot\frac{\frac ba}{1+\frac{b^2x^2}{a^2}}=\frac1{a^2}\cdot\frac{a^2}{a^2+b^2x^2}=\frac1{a^2+b^2x^2}

Dakle, $\int\frac{dx}{a^2+b^2x^2}=\frac1{ab}\operatorname{arctg}\frac{bx}a+C .$

Postavi pitanje