5979. Metoda smene promenljive

Cilj je tablični integral $\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C .$ Zato iz imenioca izvlačimo $3 ,$ da bi na prvom mestu bila jedinica:

3+2x^2=3\left(1+\frac{2x^2}{3}\right)=3\left(1+\left(\sqrt{\frac23}\,x\right)^2\right)

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=\sqrt{\frac23}\,x=\frac{\sqrt6}{3}x$ (jer je $\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3$ ). Tada je $du=\frac{\sqrt6}3\,dx ,$ odnosno $dx=\frac3{\sqrt6}\,du :$

u=\frac{\sqrt6}{3}x,\qquad dx=\frac{3}{\sqrt6}\,du

Uvrštavamo i skraćujemo $3 :$

\int\frac{dx}{3+2x^2}=\frac13\int\frac{\frac3{\sqrt6}\,du}{1+u^2}=\frac1{\sqrt6}\operatorname{arctg}u+C=\frac{\sqrt6}{6}\operatorname{arctg}\frac{\sqrt6}{3}x+C

Provera: $\left(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt6}3x\right)'=\frac{\frac{\sqrt6}3}{1+\frac69x^2}=\frac{\frac{\sqrt6}{3}\cdot 3}{3+2x^2}=\frac{\sqrt6}{3+2x^2} ,$ pa je

\left(\frac{\sqrt6}{6}\operatorname{arctg}\frac{\sqrt6}{3}x\right)'=\frac{\sqrt6}6\cdot\frac{\sqrt6}{3+2x^2}=\frac{1}{3+2x^2}

Traženi integral je $\int\frac{dx}{3+2x^2}=\frac{\sqrt6}6\operatorname{arctg}\frac{\sqrt6}{3}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci