5982. Metoda smene promenljive

Dopunjavamo do potpunog kvadrata: $x^2-4x+9=(x^2-4x+4)+5 :$

x^2-4x+9=(x-2)^2+5

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Prva smena je $t=x-2 ,$ $dt=dx .$ Zatim iz imenioca izvlačimo $5 :$ $t^2+5=5\left(1+\left(\frac{t}{\sqrt5}\right)^2\right) :$

\int\frac{dx}{(x-2)^2+5}=\int\frac{dt}{t^2+5}=\frac15\int\frac{dt}{1+\left(\frac{t}{\sqrt5}\right)^2}

Druga smena je $u=\frac{t}{\sqrt5} ,$ pa je $dt=\sqrt5\,du$ ; primenjujemo $\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C :$

\frac15\int\frac{\sqrt5\,du}{1+u^2}=\frac{\sqrt5}{5}\operatorname{arctg}u+C=\frac{\sqrt5}{5}\operatorname{arctg}\frac{x-2}{\sqrt5}+C

Provera:

\left(\frac{\sqrt5}5\operatorname{arctg}\frac{x-2}{\sqrt5}\right)'=\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{1}{1+\frac{(x-2)^2}{5}}\cdot\frac1{\sqrt5}=\frac{1}{5+(x-2)^2}=\frac1{x^2-4x+9}

Dakle, $\int\frac{dx}{x^2-4x+9}=\frac{\sqrt5}{5}\operatorname{arctg}\frac{x-2}{\sqrt5}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci