6079. Metoda parcijalne integracije

Diskriminanta imenioca je $4-20<0 ,$ pa ga ne možemo rastaviti; dopunjavamo ga do potpunog kvadrata ( $(x+1)^2=x^2+2x+1$ ):

x^2+2x+5=(x+1)^2+4

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $s=x+1 ,$ $ds=dx .$ Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=2 :$

\int\frac{dx}{x^2+2x+5}=\int\frac{ds}{s^2+2^2}=\frac12\operatorname{arctg}\frac s2+C=\frac12\operatorname{arctg}\frac{x+1}2+C

Provera:

\left(\frac12\operatorname{arctg}\frac{x+1}2\right)'=\frac12\cdot\frac{\frac12}{1+\frac{(x+1)^2}4}=\frac{1}{4+(x+1)^2}=\frac1{x^2+2x+5}

Dakle, $\int\frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac12\operatorname{arctg}\frac{x+1}{2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

339.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci