6076. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $\sin x\neq0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=x$ i $dv=\frac{dx}{\sin^2x}$ ; po tablici je $v=-\operatorname{ctg}x :$

u=x,\quad dv=\frac{dx}{\sin^2x}\qquad\implies\qquad du=dx,\quad v=-\operatorname{ctg}x

Uvrštavamo; po zadatku 330.đ je $\int\operatorname{ctg}x\,dx=\ln|\sin x|+C :$

\int\frac{x\,dx}{\sin^2x}=-x\operatorname{ctg}x+\int\operatorname{ctg}x\,dx=-x\operatorname{ctg}x+\ln|\sin x|+C

Provera:

\left(-x\operatorname{ctg}x+\ln|\sin x|\right)'=-\operatorname{ctg}x+\frac{x}{\sin^2x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{x}{\sin^2x}

Prema tome, $\int\frac{x\,dx}{\sin^2x}=-x\operatorname{ctg}x+\ln|\sin x|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci