6059. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Za $\operatorname{arctg}x$ nemamo tablični integral, ali njegov izvod $\frac1{1+x^2}$ jeste jednostavan. Zato je $u=\operatorname{arctg}x ,$ a $dv=x\,dx :$

u=\operatorname{arctg}x,\quad dv=x\,dx\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}{1+x^2},\quad v=\frac{x^2}{2}

Uvrštavamo:

\int x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{x^2}2\operatorname{arctg}x-\frac12\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx

U brojiocu dodamo i oduzmemo $1 :$ $\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2} ,$ pa je

\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=x-\operatorname{arctg}x+C

Sabiramo:

\int x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{x^2}2\operatorname{arctg}x-\frac x2+\frac12\operatorname{arctg}x+C

Provera:

\left(\frac{x^2+1}{2}\operatorname{arctg}x-\frac x2\right)'=x\operatorname{arctg}x+\frac{x^2+1}2\cdot\frac1{1+x^2}-\frac12=x\operatorname{arctg}x

Traženi integral je $\int x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\frac x2+\frac12\operatorname{arctg}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci