6077. Metoda parcijalne integracije

Rastavljamo razlomak: $\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2} :$

\int\frac{x^2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=\int\operatorname{arctg}x\,dx-\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Prvi integral je rešen u 334.z ( $u=\operatorname{arctg}x ,$ $dv=dx$ ):

\int\operatorname{arctg}x\,dx=x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(1+x^2)+C_1

U drugom uvodimo $s=\operatorname{arctg}x ,$ $ds=\frac{dx}{1+x^2} :$

\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=\int s\,ds=\frac{s^2}2+C_2=\frac12(\operatorname{arctg}x)^2+C_2

Oduzimamo:

\int\frac{x^2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg}x)^2+C

Provera:

\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^2}-\frac{x}{1+x^2}-\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x\cdot\frac{x^2}{1+x^2}

Konačno, $\int\frac{x^2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=x\operatorname{arctg}x-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg}x)^2+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci