6033. Metoda smene promenljive

Uslov je $x\ge1 .$ Racionalizujemo imenilac: množimo brojilac i imenilac sa $\sqrt{1+x}-\sqrt{x-1}$ i koristimo $(p+q)(p-q)=p^2-q^2 :$

\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x-1}}{(1+x)-(x-1)}=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x-1}}{2}

Zato je

\int\frac{dx}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-1}}=\frac12\int(1+x)^{\frac12}\,dx-\frac12\int(x-1)^{\frac12}\,dx

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ U prvom integralu je $t=1+x ,$ a u drugom $u=x-1$ ; u oba slučaja je $dt=dx ,$ $du=dx$ i $\alpha=\frac12 :$

\frac12\cdot\frac23(1+x)^{\frac32}-\frac12\cdot\frac23(x-1)^{\frac32}+C=\frac13\left(\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{(x-1)^3}\right)+C

Provera:

\left(\frac13(x+1)^{\frac32}-\frac13(x-1)^{\frac32}\right)'=\frac12\sqrt{x+1}-\frac12\sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

Poslednja jednakost važi zbog racionalizacije iz prvog koraka. Brojno, za $x=5 :$ $\frac12(\sqrt6-2)\approx0{,}2247$ i $\frac{1}{\sqrt6+2}\approx0{,}2247 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom. Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-1}}=\frac13\left(\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{(x-1)^3}\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci