6034. Metoda smene promenljive

Uslovi: $|x|<1$ i $\arcsin x\ge0 ,$ tj. $0\le x<1 .$ Integral rastavljamo na razliku dva integrala:

\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\frac{2x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int\frac{\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ U prvom integralu uvodimo $t=1-x^2 ,$ $dt=-2x\,dx ,$ pa je $2x\,dx=-dt$ i $\alpha=-\frac12 :$

\int\frac{2x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\int t^{-\frac12}\,dt=-2t^{\frac12}+C_1=-2\sqrt{1-x^2}+C_1

U drugom integralu uvodimo $u=\arcsin x ,$ $du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} ,$ $\alpha=\frac12 :$

\int\frac{\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int u^{\frac12}\,du=\frac23u^{\frac32}+C_2=\frac23\sqrt{(\arcsin x)^3}+C_2

Oduzimamo; razlika konstanti $C_1-C_2$ je opet proizvoljna konstanta $C :$

\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-2\sqrt{1-x^2}-\frac23\sqrt{(\arcsin x)^3}+C

Provera:

\left(-2\sqrt{1-x^2}-\frac23(\arcsin x)^{\frac32}\right)'=\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}

Konačno, $\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=C-2\sqrt{1-x^2}-\frac23\sqrt{(\arcsin x)^3} .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci