6028. Metoda smene promenljive

Po formuli dvostrukog ugla $\sin2x=2\sin x\cos x ,$ pa je podintegralna funkcija oblika $f^\alpha(x)f'(x)$ sa $f(x)=\sin x :$

\sin^4x\sin2x=2\sin^5x\cos x

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ Uvodimo $t=\sin x ,$ $dt=\cos x\,dx ,$ $\alpha=5 :$

\int\sin^4x\sin2x\,dx=2\int t^5\,dt=2\cdot\frac{t^6}{6}+C=\frac13\sin^6x+C

Provera:

\left(\frac13\sin^6x\right)'=\frac13\cdot6\sin^5x\cos x=2\sin^5x\cos x=\sin^4x\cdot2\sin x\cos x=\sin^4x\sin2x

Zaključujemo da je $\int\sin^4x\sin2x\,dx=\frac13\sin^6x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci