6027. Metoda smene promenljive

Uslov je $x\neq\pm1 .$ Iz tablice integrala znamo $\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C ,$ pa je izvod funkcije $\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|$ jednak $\frac{2}{1-x^2} .$ Proverimo i direktno, rastavljanjem logaritma:

\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)'=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ Uvodimo $t=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|$ ; tada je $dt=\frac{2\,dx}{1-x^2} ,$ tj. $\frac{dx}{1-x^2}=\frac{dt}2 :$

\int\frac{1}{1-x^2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\,dx=\frac12\int t\,dt=\frac12\cdot\frac{t^2}2+C=\frac{t^2}{4}+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{1}{1-x^2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\,dx=\frac14\ln^2\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C

Provera:

\left(\frac14\ln^2\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right)'=\frac14\cdot2\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\cdot\frac{2}{1-x^2}=\frac{1}{1-x^2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|

Traženi integral je $\int\frac{1}{1-x^2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\,dx=\frac14\ln^2\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci