6021. Metoda smene promenljive

Uslovi su $x>0$ i $x\neq1 .$ Kod ovog oblika uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx ,$ pa je $\int\frac{f'(x)\,dx}{f^\alpha(x)}=\int t^{-\alpha}\,dt=\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C$ ; to je formula $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=-\alpha\neq-1$ (videti i zadatak 329.b). Ovde je $f(x)=\ln x ,$ $f'(x)=\frac1x .$ Uvodimo $t=\ln x ,$ $dt=\frac{dx}x :$

\int\frac{dx}{x\ln^5x}=\int\frac{dt}{t^5}=\int t^{-5}\,dt

Za $a=-5$ je $a+1=-4 :$

\int t^{-5}\,dt=\frac{t^{-4}}{-4}+C=-\frac1{4t^4}+C=-\frac{1}{4\ln^4x}+C

Provera:

\left(-\frac14(\ln x)^{-4}\right)'=-\frac14\cdot(-4)(\ln x)^{-5}\cdot\frac1x=\frac{1}{x\ln^5x}

Traženi integral je $\int\frac{dx}{x\ln^5x}=-\frac{1}{4\ln^4x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

331.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci