6022. Metoda smene promenljive

Uslov je $\cos x\neq0 .$ Kod ovog oblika uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx ,$ pa je $\int\frac{f'(x)\,dx}{f^\alpha(x)}=\int t^{-\alpha}\,dt=\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C$ ; to je formula $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=-\alpha\neq-1$ (videti i zadatak 329.b). Uvodimo $t=\cos x$ ; tada je $dt=-\sin x\,dx ,$ pa je $\sin x\,dx=-dt :$

\int\frac{\sin x\,dx}{\cos^2x}=-\int t^{-2}\,dt

Po formuli za $a=-2$ ; dva minusa daju plus:

-\int t^{-2}\,dt=-\frac{t^{-1}}{-1}+C=\frac1t+C=\frac1{\cos x}+C

Provera:

\left(\frac1{\cos x}\right)'=\left((\cos x)^{-1}\right)'=-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^2x}

Dakle, $\int\frac{\sin x\,dx}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

331.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci