6005. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ ; ceo izraz $f'(x)\,dx$ prelazi u $dt :$

\int f^\alpha(x)f'(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt

Primenjujemo $\int t^\alpha\,dt=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C ,$ što važi upravo za $\alpha\neq-1 :$

\int t^\alpha\,dt=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C

Provera:

\left(\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}\right)'=\frac{(\alpha+1)f^\alpha(x)}{\alpha+1}\cdot f'(x)=f^\alpha(x)f'(x)

Primer: za $f(x)=\sin x$ i $\alpha=2$ dobijamo $\int\sin^2x\cos x\,dx=\frac{\sin^3x}3+C .$ Dakle, $\int f^{\alpha}(x)f'(x)\,dx=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C$ za $\alpha\neq-1 .$ Za $\alpha=-1$ važi rezultat zadatka 329.a.

Započni učenje

Privatni časovi

329.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci