5995. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=ax+b .$ Tada je $dt=a\,dx ,$ a zbog $a\neq0$ je $dx=\frac{dt}a :$

t=ax+b,\qquad dx=\frac{dt}{a}

Primenjujemo $\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C .$ Ta formula važi samo za $n\neq-1$ (za $n=-1$ bi imenilac $n+1$ bio nula); pošto je $n\in\mathbb{N} ,$ uslov je ispunjen:

\int(ax+b)^n\,dx=\frac1a\int t^n\,dt=\frac1a\cdot\frac{t^{n+1}}{n+1}+C=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C

Primer: za $a=2,\ b=3,\ n=4$ formula daje $\int(2x+3)^4\,dx=\frac{(2x+3)^5}{10}+C .$ Provera u opštem slučaju:

\left(\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\right)'=\frac{(n+1)(ax+b)^n\cdot a}{a(n+1)}=(ax+b)^n

Prema tome, $\int(ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci