5968. Metoda smene promenljive

Imenilac mora biti pozitivan, pa je $2-x>0 ,$ tj. $x<2 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=2-x .$ Izvod izraza $2-x$ je $-1 ,$ pa je $dt=-dx ,$ odnosno $dx=-dt .$ Pazimo na znak minus:

t=2-x,\qquad dx=-dt

Razlomak $\frac1{\sqrt[4]t}$ zapisujemo kao stepen $t^{-\frac14}$ i primenjujemo $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ sa $a=-\frac14 ,$ $a+1=\frac34 :$

\int\frac{dx}{\sqrt[4]{2-x}}=-\int t^{-\frac14}\,dt=-\frac{t^{\frac34}}{\frac34}+C=-\frac43\,t^{\frac34}+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{\sqrt[4]{2-x}}=-\frac43\sqrt[4]{(2-x)^3}+C

Provera: unutrašnji izvod je $(2-x)'=-1 ,$ pa se dva minusa poništavaju:

\left(-\frac43(2-x)^{\frac34}\right)'=-\frac43\cdot\frac34(2-x)^{-\frac14}\cdot(-1)=\frac1{\sqrt[4]{2-x}}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sqrt[4]{2-x}}=-\frac43\sqrt[4]{(2-x)^3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci