6041. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Iz $e^x+1=z^4$ (sa $z>1$ ) sledi $e^x=z^4-1$ i $\sqrt[4]{e^x+1}=z .$ Diferenciramo obe strane jednakosti $e^x+1=z^4 :$

e^x\,dx=4z^3\,dz

Brojilac rastavljamo kao $e^{2x}\,dx=e^x\cdot e^x\,dx=(z^4-1)\cdot4z^3\,dz :$

\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt[4]{e^x+1}}=\int\frac{(z^4-1)\cdot4z^3\,dz}{z}=4\int(z^6-z^2)\,dz

Po formuli $\int z^a\,dz=\frac{z^{a+1}}{a+1}+C :$

4\int(z^6-z^2)\,dz=\frac47z^7-\frac43z^3+C=\frac{4}{21}z^3\left(3z^4-7\right)+C

Vraćamo smenu: $z^3=\sqrt[4]{(e^x+1)^3}$ i $3z^4-7=3(e^x+1)-7=3e^x-4 :$

\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt[4]{e^x+1}}=\frac4{21}(3e^x-4)\sqrt[4]{(e^x+1)^3}+C

Provera preko $z :$ izvod po $z$ je $4z^6-4z^2 ,$ a $\frac{dx}{dz}=\frac{4z^3}{e^x}=\frac{4z^3}{z^4-1} ,$ pa je izvod po $x :$

(4z^6-4z^2)\cdot\frac{z^4-1}{4z^3}=\frac{(z^4-1)^2}{z}=\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{e^x+1}}

Konačno, $\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt[4]{e^x+1}}=\frac4{21}(3e^x-4)\sqrt[4]{(e^x+1)^3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci