6040. Metoda smene promenljive

Uslov je $x-x^2>0 ,$ tj. $x(1-x)>0 ,$ pa je $0<x<1 .$ Tada smena $x=\sin^2z$ ima smisla za $z\in\left(0,\frac\pi2\right) ,$ gde su $\sin z>0$ i $\cos z>0 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Diferencijal je:

x=\sin^2z,\qquad dx=2\sin z\cos z\,dz

Izraz pod korenom: $x-x^2=\sin^2z-\sin^4z=\sin^2z(1-\sin^2z)=\sin^2z\cos^2z .$ Pošto su sinus i kosinus pozitivni, koren je $\sin z\cos z$ (bez promene znaka):

\sqrt{x-x^2}=\sqrt{\sin^2z\cos^2z}=\sin z\cos z

Uvrštavamo; $\sin z\cos z$ se skraćuje:

\int\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}=\int\frac{2\sin z\cos z\,dz}{\sin z\cos z}=\int2\,dz=2z+C

Iz $x=\sin^2z$ i $\sin z>0$ sledi $\sin z=\sqrt x ,$ tj. $z=\arcsin\sqrt x :$

\int\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}=2\arcsin\sqrt x+C

Provera:

\left(2\arcsin\sqrt x\right)'=2\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}=\frac1{\sqrt{x-x^2}}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}=2\arcsin\sqrt x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci