5988. Metoda smene promenljive

Uslov je $4x^2<9 ,$ tj. $|x|<\frac32 .$ Izvlačimo $\sqrt9=3$ ispred korena:

\sqrt{9-4x^2}=3\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}=3\sqrt{1-\left(\frac{2x}{3}\right)^2}

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=\frac{2x}3$ ; tada je $du=\frac23\,dx ,$ pa je $dx=\frac32\,du :$

\int\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}=\frac13\int\frac{\frac32\,du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac12\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}

Primenjujemo $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C$ i vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}=\frac12\arcsin\frac{2x}{3}+C

Provera:

\left(\frac12\arcsin\frac{2x}3\right)'=\frac12\cdot\frac{\frac23}{\sqrt{1-\frac{4x^2}9}}=\frac{\frac13}{\frac13\sqrt{9-4x^2}}=\frac1{\sqrt{9-4x^2}}

Dakle, $\int\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}=\frac12\arcsin\frac23x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci