5994. Metoda smene promenljive

Izraz pod korenom dopunjavamo do potpunog kvadrata. Iz $(x-1)^2=x^2-2x+1$ sledi $x^2-2x=(x-1)^2-1 ,$ pa je:

2x-x^2=-(x^2-2x)=-\left((x-1)^2-1\right)=1-(x-1)^2

Uslov $1-(x-1)^2>0$ daje $0<x<2 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=x-1 ,$ $du=dx :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}

Po tabličnoj formuli $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}=\arcsin(x-1)+C

Provera:

\left(\arcsin(x-1)\right)'=\frac1{\sqrt{1-(x-1)^2}}=\frac1{\sqrt{2x-x^2}}

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}=\arcsin(x-1)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci