5985. Metoda smene promenljive

Koren u imeniocu mora biti pozitivan: $1-4x^2>0 ,$ tj. $|x|<\frac12 .$ Ciljamo tablični integral $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C ,$ pa $4x^2$ pišemo kao $(2x)^2 .$

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=2x$ ; tada je $du=2\,dx ,$ odnosno $dx=\frac{du}{2} :$

u=2x,\qquad dx=\frac{du}2

Integral postaje:

\int\frac{dx}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac12\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac12\arcsin u+C=\frac12\arcsin2x+C

Provera, uz $(\arcsin u)'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} :$

\left(\frac12\arcsin2x\right)'=\frac12\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac1{\sqrt{1-4x^2}}

Traženi integral je $\int\frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac12\arcsin2x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci