5991. Metoda smene promenljive

Dopunjavamo do potpunog kvadrata: $-x^2+2x=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1 ,$ pa je:

1+2x-x^2=2-(x-1)^2

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Integral je sada isti kao u zadatku 327.z. Uvodimo $t=x-1 ,$ a zatim $u=\frac{t}{\sqrt2} ,$ tj. odmah $u=\frac{x-1}{\sqrt2} ,$ $dx=\sqrt2\,du :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2-(x-1)^2}}=\int\frac{\sqrt2\,du}{\sqrt2\sqrt{1-u^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}

Tablični integral $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C$ daje:

\int\frac{dx}{\sqrt{1+2x-x^2}}=\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}+C

Provera: izvod je isti kao u 327.z, a $2-(x-1)^2=1+2x-x^2 :$

\left(\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}\right)'=\frac1{\sqrt{2-(x-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+2x-x^2}}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sqrt{1+2x-x^2}}=\arcsin\frac{x-1}{\sqrt2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci