5992. Metoda smene promenljive

Uslov je $2-5x^2>0 ,$ tj. $|x|<\sqrt{\frac25} .$ Iz korena izvlačimo $\sqrt2$ ; pri tome je $\frac{5x^2}{2}=\left(\sqrt{\frac52}\,x\right)^2$ i $\sqrt{\frac52}=\frac{\sqrt{10}}2 :$

\sqrt{2-5x^2}=\sqrt2\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}x\right)^2}

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Smena je $u=\frac{\sqrt{10}}2x ,$ pa je $dx=\frac{2}{\sqrt{10}}\,du :$

u=\frac{\sqrt{10}}{2}x,\qquad dx=\frac2{\sqrt{10}}\,du

Konstante množimo: $\frac1{\sqrt2}\cdot\frac2{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5} .$ Zatim primenjujemo $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C :$

\int\frac{dx}{\sqrt{2-5x^2}}=\frac{\sqrt5}5\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{\sqrt5}{5}\arcsin\frac{\sqrt{10}}{2}x+C

Provera:

\left(\frac{\sqrt5}5\arcsin\frac{\sqrt{10}}2x\right)'=\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{\frac{\sqrt{10}}2}{\sqrt{1-\frac{5x^2}2}}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{2-5x^2}}=\frac1{\sqrt{2-5x^2}}

Konačno, $\int\frac{dx}{\sqrt{2-5x^2}}=\frac{\sqrt5}{5}\arcsin\frac{\sqrt{10}}{2}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci