5990. Metoda smene promenljive

Uslov je $a^2-x^2>0 ,$ tj. $-a<x<a .$ Izvlačimo $a^2$ ispod korena; pošto je $a>0 ,$ važi $\sqrt{a^2}=a$ (za negativno $a$ bi bilo $\sqrt{a^2}=-a ,$ zato je uslov važan):

\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}=a\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=\frac xa ,$ pa je $dx=a\,du :$

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a\,du}{a\sqrt{1-u^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}

Po tabličnoj formuli $\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C :$

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C

Provera:

\left(\arcsin\frac xa\right)'=\frac{\frac1a}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}=\frac{\frac1a}{\frac1a\sqrt{a^2-x^2}}=\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci