6066. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $|x|\le2 .$ Postupak je isti kao u 336.a. Neka je $I=\int\sqrt{4-x^2}\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\sqrt{4-x^2} ,$ $dv=dx :$

u=\sqrt{4-x^2},\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=-\frac{x\,dx}{\sqrt{4-x^2}},\quad v=x

Uvrštavamo i pišemo $x^2=4-(4-x^2) :$

I=x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{4-x^2}}=x\sqrt{4-x^2}+4\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}-I

Po zadatku 327.g (sa $a=2$ ) je $\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\arcsin\frac x2+C .$ Rešavamo jednačinu po $I :$

2I=x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac x2\implies I=\frac x2\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\frac x2+C

Provera:

\frac12\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{4-x^2}}+\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{(4-x^2)-x^2+4}{2\sqrt{4-x^2}}=\sqrt{4-x^2}

Prema tome, $\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac x2\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\frac x2+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

336.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci