6065. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $|x|\le1 .$ Označimo $I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\sqrt{1-x^2} ,$ $dv=dx :$

u=\sqrt{1-x^2},\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=-\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}},\quad v=x

Uvrštavamo:

I=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1-x^2}}

U brojiocu pišemo $x^2=1-(1-x^2)$ ; pošto je $\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-x^2} ,$ ponovo se pojavljuje $I :$

\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\arcsin x-I

Dobijamo jednačinu $I=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x-I$ ; prebacujemo $I$ na levu stranu i delimo sa $2 :$

2I=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\implies I=\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C

Provera:

\frac12\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac12\cdot\frac{(1-x^2)-x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{1-x^2}

Rešenje zadatka je $\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

336.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci