6069. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\sin x ,$ $dv=e^x\,dx ,$ pa je $du=\cos x\,dx ,$ $v=e^x :$

I_1=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx

Na $\int e^x\cos x\,dx$ opet primenjujemo parcijalnu integraciju, sa $u=\cos x ,$ $dv=e^x\,dx ,$ $du=-\sin x\,dx :$

\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I_1

Uvrštavanjem se $I_1$ pojavljuje sa obe strane jednakosti, pa ga izražavamo kao nepoznatu iz jednačine:

I_1=e^x\sin x-e^x\cos x-I_1\implies2I_1=e^x(\sin x-\cos x)\implies I_1=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C

Provera:

\frac12\left(e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)\right)=\frac12\cdot2e^x\sin x=e^x\sin x

Zaključujemo da je $I_1=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

337.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci